1. Szeregi liczbowe

• Definicja szeregu zbieżnego, warunek Cauchy’ego i warunek konieczny zbieżności, szeregi: geometryczny i harmoniczny.
• Operacje na szeregach.
• Szeregi o wyrazach nieujemnych, kryteria zbieżności: porównawcze, pierwiastkowe, ilorazowe, zasada zagęszczania Cauchy’ego.
• Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, kryteria: Dirichleta, Abela i Leibniza.
• Zbieżność bezwzględna i warunkowa, zmiana kolejności wyrazów szeregu, twierdzenie Riemanna.
• Mnożenie szeregów, twierdzenie Mertensa.
• Szeregi dwustronne.

2. Całki niewłaściwe

• Definicja i podstawowe własności całek niewłaściwych.
• Zbieżność bezwzględna i warunkowa, kryteria: Cauchy’ego, porównawcze i Dirichleta.
• Całkowe kryterium zbieżności szeregów.

3. Elementy analizy zespolonej

• Definicja i podstawowe własności liczb zespolonych.
• Zbieżność w C, ciągi i szeregi o wyrazach zespolonych.
• Granica i ciągłość funkcji zespolonych.
• Różniczkowanie i całkowanie funkcji określonych na przedziale i przyjmujących wartości zespolone.
• Pochodna funkcji zespolonej i jej podstawowe własności (bez równana Cauchy’ego-Riemanna).

4. Ciągi i szeregi funkcyjne

• Zbieżność punktowa i jednostajna.Warunek Cauchy’ego na zbieżność jednostajna. Kryterium Weierstrassa.
• Związki zbieżności jednostajnej z ciągłością, różniczkowaniem i całkowaniem.
• Przykład funkcji ciągłej na całej prostej, która nie ma pochodnej w żadnym punkcie.

5. Szeregi potęgowe

• Szereg potęgowy, promieni zbieżności, wzór Cauchy’ego-Hadamarda, własności sumy szeregu potęgowego w przedziale zbieżności (całkowanie w przypadku szeregu o wyrazach rzeczywistych).
• Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy. Rozwinięcia funkcji wykładniczej i funkcji trygonometrycznych, szereg dwumienny.
• Przykład funkcji klasy C(1), która niej jest analityczna.
• Zachowanie się sumy szeregu potęgowego na końcach przedziału zbieżności, twierdzenie Abela.
• Analityczna definicja funkcji trygonometrycznych, związek pomiędzy funkcja wykładnicza i funkcjami trygonometrycznymi, wzory Eulera, funkcje elementarne zmiennej zespolonej.

6. Szeregi Fouriera

• Szereg Fouriera, wzory Eulera-Fouriera.
• Lemat Riemanna-Lebesgue’a.
• Całka Dirichleta, zasada lokalizacji. Zbieżność punktowa szeregu Fouriera.
• Postać zespolona szeregu Fouriera.

7. Elementy teorii przestrzeni metrycznych

• Definicja i przykłady przestrzeni metrycznych
• Przestrzeń Rn jako przestrzeń metryczna.
• Zbiory otwarte i domknięte.
• Domkniecie, wnętrze i brzeg zbioru.
• Zbiory zwarte. Zwartość podzbiorów przestrzeni Rn, twierdzenia: Heinego-Borela i Bolzano-Weierstrassa.
• Spójność. Charakteryzacja spójnych podzbiorów prostej.
• Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych. Zbieżność w przestrzeni Rn.
• Przestrzenie zupełne. Zupełność przestrzeni Rn. Twierdzenie Banacha o kontrakcji.
• Granica funkcji. Granica podwójna a granice iterowane.
• Ciągłość:

• ciągłość złożenia i ciągłość funkcji odwrotnej;
• własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych;
• ciągłość a spójność, zbiory łukowo spójne, łukowa spójność obszaru w Rn.

8. Całka Riemanna-Stieltjesa

• Definicja i podstawowe własności całki Riemanna-Stieltjesa.
• Istnienie całki w przypadku całkowania funkcji ciągłej względem funkcji monotonicznej.